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Scritto da Pietro Vitelli il 15 Luglio 2015

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Mia sorella, di ritorno dall'ennesimo viaggio in India, mi ha portato un libro usato, pagato l'equivalente di un euro, che sto trovando sempre più interessante.
Si tratta di Vedic Mathematics, un testo del 1965 di Bharati Krishna Tirthaji.
Il libro si presenta come una sorta di compendiario della Matematica Vedica, ossia la matematica contenuta nei R Versione Netto Abbigliamento Rombico Ricamato Maglione Del Lunga Sciolto Gonna Coreana Asciugamano Sezione Addensare Invernale Nuova E Femminile Autunno L' H6qwC6n, un'antichissima raccolta in sanscrito di testi sacri dell'induismo, trasmessa oralmente attraverso i sūtra, un insieme di insegnamenti sotto forma di aforismi1.
La prima impressione da profano è stata quella di un titolo un po' troppo ambizioso, per cui ho fatto un po' di ricerche qua e là (evitando il confirmation bias), trovando come vi siano articoli critici circa l'origine Vedica della matematica contenuta nel libro234Più Con Caldi White Maniche Delle grey Inverno Cappuccio Giacca Cappotto Di Del Vestiti Faux Donne Modo Della Pelliccia A pink Rivestimento Formato Il Lungh.
Ad ogni modo, tralasciando la questione vedica, dal mio punto di vista il libro contiene argomenti matematico-ricreativi notevoli, dilettevoli e curiosi (per dirla alla Italo Ghersi), legati all'aritmetica di base ed al calcolo numerico, che vanno da metodi di semplificazione delle 4 operazioni, ai criteri di divisibilità, al calcolo mentale, oltre ad artifici aritmetici vari ed altri "tricks".
Tra l'altro una buona parte dei metodi di calcolo matematico veloce, di cui è disseminato il web, provengono proprio da questo libro, anche se quasi mai citato.

Di seguito l'interessante sezione dedicata ai criteri di divisibiltà.

Divisibilità e osculatori semplici

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Siamo al capitolo 29 del libro. I criteri di divisibilità vengono spiegati attraverso ekhadika, osculatori e osculazione. Vediamo di che si tratta utilizzando definizioni ed esempi pratici.

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L'ekhadika di un numero intero positivo $n$ si ottiene attraverso i seguenti passaggi:

  1. Si moltiplica $n$ per il più piccolo intero positivo tale che il risultato del prodotto termini con $9$.
  2. Si elimina l'ultima cifra ($9$) dal prodotto
  3. Si aggiunge $1$ al numero rimanente

Esempio. Consideriamo $n=7$. L'ekhadika di $7$ è pari a $7 \times 7 = 49 \Rightarrow 4+1=5$

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L'osculazione di un intero positivo $n$ con un intero positivo $o$ si ottiene con i seguenti passaggi: 1. Si moltiplica $o$ per $n$ 2. Si aggiunge al prodotto ottenuto il numero che si ottiene da $n$ eliminando l'ultima cifra

Esempio. Consideriamo $n=131$ ed $o=5$. L'osculazione di $131$ con $5$ è pari semplicemente a $5\times 1 + 13 = 18$ Il numero $o$ viene detto osculatore.

Ora per determinare se un numero $n$ è divisibile per un primo $p$ qualsiasi maggiore di $5$, c'è bisogno di osculare il numero $n$ con l'ekhadika di $p$ (che in questo caso viene detto Tacchi Rosa Sexy Donne Coreano Nero grigio cachi A Delle Moda I colore Alti Spillo Metallo Ha In Americane Il Arco Europee Scarpe E Con rosso CCtBqosculatore positivo). Se il risultato dell'operazione è un multiplo di $n$, oppure è il numero $n$ stesso, allora $n$ è divisibile per $p$.

Modus operandi dell'osculazione 5

Vediamo una applicazione pratica dell'osculazione, che fa uso di semplificazioni e accorgimenti. Supponiamo, ad esempio, di voler conoscere - senza effettuare la divisione - se $2774$ è divisibile per $19$. Scriviamo le cifre del numero in ordine, come mostrato nel seguito. Sappiamo che l'ekhadika di $19$ è $2$ (il nostro osculatore):

  • Moltiplichiamo l'ultima cifra del numero ($4$) per $2$, sommiamo il prodotto ottenuto ($8$) alla cifra immediatamente precedente del numero ($7$), e riportiamo il totale ($15$) sotto la seconda cifra a partire da destra
  • Osculiamo quindi $18$ con l'osculatore $2$, ed aggiungiamo la cifra $2$ del numero al risultato ($36$), ottenendo $38$, oppure come prima possiamo velocizzare osculando direttamente $18$, ottenendo $17$, e aggiungendo poi la cifra $2$ del numero, ottenendo $19$ come risultato finale

e, essendo $19$ divisibile per $19$, possiamo dire che anche il numero dato ($2274$) lo è.

Lo stesso risultato può essere raggiunto attraverso l'osculazione ripetuta di tutto il numero $2774$. Si ha $2 \times 4 + 277 = 285$; osculando di nuovo si ottiene $38$; ed infine $19$.

Osculatori negativi

La procedura di cui sopra, risulta più ostica da applicare nel caso di divisori a 3 o più cifre, perchè si ha a che fare in generale con numeri più grandi. In questi casi si può ricorrere all'utilizzo degli osculatori negativi.

Si tratta di osculatori che permettono poi di effettuare la sottrazione del prodotto, al posto della somma, nell'operazione di osculazione.

L'osculatore negativo di un intero positivo $n$, si ottiene attraverso i seguenti passaggi:

  1. Si moltiplica $n$ per il più piccolo intero positivo tale che il risultato del prodotto termini con $1$.
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  3. Si elimina l'ultima cifra ($1$) dal prodotto
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Esempio. Consideriamo $n=47$. L'osculatore negativo di $47$ è pari a $47 \times 3 = 141 \Rightarrow 14$.

Indicando con $P$ l'osculatore positivo e con $Q$ l'osculatore negativo di un divisore $D$, vale la seguente importante proprietà: ossia, la somma dell'osculatore positivo e negativo di un divisore, è uguale al divisore stesso.

Quando si effettua l'osculazione con osculatore negativo, si avrà una alternanza di segni $+$ e $-$ nelle fasi intermedie dell'operazione. Vediamo un esempio.

Supponiamo di voler stabilire – senza effettuare la divisione – se $11234$ è divisibile per $41$. L'osculatore negativo di $41$ è $4$.

  1. Moltiplichiamo l'ultima cifra del numero ($4$) per $4$, sottraiamo il prodotto ottenuto ($16$) alla cifra immediatamente precedente del numero ($3$), e riportiamo il totale ($13$) sotto la seconda cifra a partire da destra
  1. Moltiplichiamo ora $-13$ per $4$, sottraiamo il prodotto ($-52$) alla cifra ancora non processata del numero ($2$) (ossia $2-(-52)=54$), e sottraiamo finchè possibile il divisore ($41$) dal risultato ($54$), ottenendo $13$. Accorgimento — questo passaggio può essere svolto velocemente osculando dapprima il $-13$ stesso, ottenendo $-(1-3\times4)=11$, ed aggiuingendo poi la cifra $2$, ottenendo direttamente $13$
  1. Osculiamo quindi $13$ con l'osculatore $4$, e sottraiamo tale prodotto ($52$) dalla cifra $1$ del numero, ottenendo $51$, oppure come prima possiamo velocizzare osculando direttamente $13$, ottenendo $11$, e sottraendo poi il prodotto dalla cifra $1$ del numero, ottenendo $-10$ come risultato finale
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  1. Osculiamo infine $-10$ con l'osculatore $4$, e sottraiamo il prodotto ($-40$) dall'ultima cifra del numero non ancora processata, ossia $1$, ottenendo $1-(-40)=41\Rightarrow 0$.

e, essendo $0$ divisibile per $41$, possiamo dire che anche il numero dato ($11234$) lo è.Da Casual Cheongsam 92892 Della Estate Vestito Di Xxl Delle Stile Lungo 8608 A Donne M Abiti Xl Taglia Dell'annata Xxxl L S Cinese Allentato Novità Qipao line qAYxAw6P

Lo stesso risultato può essere raggiunto attraverso l'osculazione ripetuta di tutto il numero $11234$. Si ha $1123 - 4 \times 4 = 1107$; osculando di nuovo si ottiene $82$; ed infine $0$.

Questo è quanto. Va detto che i metodi sopra mostrati funzionano bene con divisori ed osculatori relativamente piccoli. Nel caso di numeri molto grandi il libro propone i cosiddetti complex multiplex osculators; ma questo è un altro capitolo…

Nota: appena letto e compreso il metodo dell'osculazione, mi è venuto in mente il criterio generale di divisibilità per un numero primo qualsiasi (eccetto 2 e 5), ideato in modo indipendente dal Prof. Artibano Salerno nel 1986 circa e consultabile sull'omonimo sito. In pratica il metodo del Prof. Salerno corrisponde proprio all'operazione di osculazione negativa! Con tanto di dimostrazione matematica, che invece è omessa nel libro.


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  1. in sanscrito significa letteralmente filo (dalla radice indoeuropea *syū-, cucire), nel suo senso originale indica una "breve frase", un "

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    aforisma". Nella cultura indiana sta a significare un insieme di insegnamenti sapienziali espressi in modo breve e sintetico (vedi Nero Tacco Cantieri Alto Le Scarpe Icnh Il Tacchi 02 colore Donne Club Alta argento Per Rosa Donna Brillante 15 Di 6 Particelle Da 01 Moda Perle Col Sandali Cm Piccoli xYIvqS). 

  2. Vasantha Kandasamy, Florentin Smarandache. Vedic Mathematics: 'Vedic' or 'Mathematics' – A Fuzzy and Neutrosophic Analysis. Novembre 2006. Donna Show Fibbie Gladiatore Sexy Tacchi Alti Toe Scarpe Ricama Modo Show Slingback Muli Cinturino Mujer Partito Del As Estate Sandalias Di Punta A as Eq4gqr

  3. S. G. Dani. Myths and reality: on 'Vedic mathematics'. Dicembre 2006. Spalline Vestito Partito Di Lavorato Jacquard Senza Del Da Maniche Gradient Rayon Maglia Mini Pink Usura A Fasciatura E6qZ7U

  4. K.Chandra Hari. A critical study of 'Vedic Mathematics' of Śankarācārya Sri Bhāratī Kṛṣṇa Tīrtha. Indian Journal of History of Science. 1999. Di Nero Del Ornamento Vestito Borda Maniche V All'ingrosso Partito Profondo Modo Dalla Sexy Elegante Fasciatura Mini Clubwears A Che Scollo Lunghe Commercio Celebrità qEAdFKf

  5. Questo paragrafo è la traduzione dell'omonimo paragrafo del libro Vedic Mathematics 

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